Chiffrement de Vigenère - Corrigé

Énoncé

Le chiffrement de Vigenère utilise la même méthode que le chiffrement de César (chiffrement par décalage), mais ici le décalage est variable et dépend d'une clé. Une même lettre peut être codée par plusieurs lettres différentes, ce qui rend difficile l'analyse des fréquences.

La clé correspond généralement à un mot (ou à une phrase) que l'on répète autant de fois que nécessaire pour déchiffrer le message entier. Plus la clé est longue et comporte des lettres variées, mieux le texte est chiffré (si la clé est aussi longue que le message chiffré, le déchiffrement est impossible !).

On assimile les vingt-six lettres de l'alphabet : \(\text A, \text B, ..., \text Z\) aux nombres \(0\) , \(1\) , ..., \(25\) .

On utilise la méthode de chiffrement suivante :

• pour chaque lettre à coder, on associe l'entier \(x\) correspondant entre  \(0\)  et  \(25\) ;
• pour chaque lettre de la clé, on associe l'entier \(y\) correspondant entre  \(0\)  et  \(25\) ;
• le rang \(z\) de la lettre codée est le reste dans la division euclidienne de \(x+y\) par \(26\) .
  

Par exemple, pour coder le mot \(\text {MATHEMATIQUES}\)  avec la clé \(\text {EXPERTES}\)  :

• \(\text M\)  est associé à  \(x=12\)  et \(\text E\)  est associé à  \(y=4\) , et on a  \(z=x+y=12+4=16\) , donc \(\text M\) est codé par la lettre \(\text Q\) ;
  
• \(\text A\) est associé à  \(x=0\)  et \(\text X\) est associé à  \(y=23\) , et on a  \(z=x+y=0+23=23\) , donc \(\text A\) est codé par la lettre \(\text X\) ;
  
• \(\text T\) est associé à  \(x=19\)  et \(\text P\) est associé à  \(y=15\) , et on a  \(x+y=19+15=34=26 \times 1+8\) , donc  \(z=8\) , et donc \(\text T\) est codé par la lettre \(\text I\) .
  

En continuant avec cette méthode, on obtient le mot \(\text {QXILVFELMNJIJ}\) .
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.1}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Mot à coder}& \text{M}& \text{A}& \text{T}& \text{H}& \text{E}& \text{M}& \text{A}& \text{T}& \text{I}& \text{Q}& \text{U}& \text{E} & \text{S}\\ \hline x&12&0&19&7&4&12&0&19&8&16&20&4&18 \\ \hline\text{Clé}& \text{E}& \text{X}& \text{P}& \text{E}& \text{R}& \text{T}& \text{E}& \text{S} & \text{E}& \text{X}& \text{P}& \text{E}& \text{R}\\ \hline y&4&23&15&4&17&19&4&18&4&23&15&4&17\\ \hline z&16&23&8&11&21&5&4&11&12&13&9&8&9\\ \hline \text{Mot codé}& \text{Q}& \text{X}& \text{I}& \text{L}& \text{V}& \text{F}& \text{E}& \text{L} & \text{M}& \text{N}& \text{J}& \text{I}& \text{J}\\ \hline\end{array}\end{align*}\)   

Pour répondre aux questions suivantes, on pourra utiliser un tableur.

1. Montrer qu'en utilisant la clé \(\text {TERM}\) , le mot \(\text {ARITHMETIQUE}\) est codé par \(\text{TVZFAQVFBULQ}\) .

2. On veut déchiffrer le message \(\text {JYVX MECQGX}\) , toujours en utilisant la   clé \(\text {TERM}\) .
    a. Montrer que déchiffrer la première lettre du message revient à résoudre  \(x \equiv 16 \ [26]\) . En déduire la lettre déchiffrée.
    b. Déchiffrer le reste du message.

Solution

1. On utilise un tableau pour résumer le chiffrement :
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.1}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Mot à coder}& \text{A}& \text{R}& \text{I}& \text{T}& \text{H}& \text{M}& \text{E}& \text{T}& \text{I}& \text{Q}& \text{U}& \text{E}\\ \hline x&0&17&8&19&7&12&4&19&8&16&20&4\\ \hline\text{Clé}& \text{T}& \text{E}& \text{R}& \text{M}& \text{T}& \text{E}& \text{R}& \text{M}& \text{T}& \text{E}& \text{R}& \text{M}\\ \hline y&19&4&17&12&19&4&17&12&19&4&17&12\\ \hline z&19&21&25&5&0&16&21&5&1&20&11&16\\ \hline\text{Mot codé}& \text{T}& \text{V}& \text{Z}& \text{F}& \text{A}& \text{Q}& \text{V}& \text{F}& \text{B}& \text{U}& \text{Q}& \text{L}\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  

2. a. On note \(x\)  le rang (compris entre \(0\) et \(25\) ) de la lettre non chiffrée. 
La première lettre de la clé étant \(\text T\) de rang \(y=19\) , et la première lettre du message chiffré étant \(\text J\) de rang \(z=9\) , on a : 
\(\begin{align*}x+y \equiv z \ [26]& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x+19 \equiv 9 \ [26]\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ x \equiv -10 \ [26]\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ x \equiv 16 \ [26].\end{align*}\)  
La première lettre du message déchiffré est donc \(\text Q\) .

b. On utilise un tableau pour résumer le déchiffrement :
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.1}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Message codé}& \text{J}& \text{Y}& \text{V}& \text{X}& \text{M}& \text{E}& \text{C}& \text{Q}& \text{G}& \text{X}\\ \hline z&9&24&21&23&12&4&2&16&6&23\\ \hline\text{Clé}& \text{T}& \text{E}& \text{R}& \text{M}& \text{T}& \text{E}& \text{R}& \text{M}& \text{T}& \text{E}\\ \hline y&19&4&17&12&19&4&17&12&19&4\\ \hline z-y&-10&20&4&11&-7&0&-15&4&-13&19\\ \hline x&16&20&4&11&19&0&11&4&13&19\\ \hline\text{Message décodé}& \text{Q}& \text{U}& \text{E}& \text{L}& \text{T}& \text{A}& \text{L}& \text{E}& \text{N}& \text{T}\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  
\(\text {QUEL TALENT}\)